Mr Sunglasses All The Time (mancunian) wrote,
Mr Sunglasses All The Time
mancunian

Category:
  • Mood:

Толкнул науку!

Любопытная "простая" задача - построить самоподобное множество с пустой внутренностью и положительной лебеговой мерой. До сих пор было неизвестно, существуют ли такие множества вообще, и вот теперь я построил целое семейство примеров.

Дело тут вот в чем: "толстый" фрактал построить - не вопрос; каждый знает, как это сделать: берешь интервал, вырезаешь из него середку. Далее из каждого из двух оставшихся интервалов тоже вырезаешь середку, но гораздо меньше первой. И так далее. Если вырезаемые середки будут всё меньше и меньше в сравнении с тем, что остается - в пределе получится множество положительной меры без внутренних точек.

И всё бы хорошо, но только вот не самоподобное оно. Что такое "самоподобное"? Формально: имеется конечное множество линейных отображений fi евклидова пространства (= линейная часть + константа) - тогда самоподобное множество S есть (единственное) множество, которое удовлетворяет соотношению

S = Ui fi (S).

Например, обычное канторово мн-во - самоподобно (возьмите f0(x) = x/3, f1(x) = x/3 + 2/3). И салфетка Серпинского, и ковер Серпинского. Проблема в том, что во всех этих примерах множества fi (S) при разных не пересекаются или пересекаются по чему-то очень малому. Тогда мера, как известно, обязательно будет нулевой.

Поэтому пример должен быть со "значительными" пересечениями fi (S). Моя модель очень проста: надо взять в качестве fi три сжатия на плоскости c одним и тем же коэффициентом λ из (1/2,1), т.е.

fi (x) = λx + (1 - λ) pi,

где pi - три неколлинеарных точки. Обозначим получившееся самоподобное множество Sλ. Заметим, что при λ = 1/2 получается салфетка Серпинского (Sierpiński gasket), и, как легко доказать, при λ < 1/√3 = 0.577..., множество Sλ будет иметь лебегову меру нуль.

С другой стороны, при λ ≥ ⅔, Sλ есть весь треугольник - выпуклая оболочка точек pi. Можно еще доказать, что если λ ≥ 0.6478..., то Sλ будет иметь непустую внутренность.

Гипотеза (моя и видимо, очень трудная).
(1) При λ > (√5 - 1)/2 множество Sλ имеет непустую внутренность.
(2) При λ < (√5 - 1)/2 множество Sλ имеет пустую внутренность.

Что происходит при λ = (√5 - 1)/2, вы можете видеть на моем юзерпике. ;) Настоящий фрактал, размерности 1.93...

Итак, вот новый результат:

Теорема. Для почти всякого λ из интервала (0.5853, (√5 - 1)/2) множество Sλ будет иметь положительную меру и пустую внутренность.

Собственно, я доказал, что для п.в. λ, меньшего золотого сечения, внутренность Sλ будет пустой. Положительность меры Sλ для п.в. λ, большего 0.5853, доказана двумя другими людьми. Так что остается пересечь два множества полной меры - и вуаля.

Надо бы написать подробно в ru_mathresearch, но лень.

А на картинке вы видите самоподобное множество для λ = 0.59. Скорее всего, оно имеет положительную меру и пустую внутренность. Обратите внимание - понять, как устроены его дыры, не так-то просто.
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 10 comments