September 29th, 2005

spider

Милая задачка

Наткнулся на некую статью четырех авторов; авторы все разных национальностей, и одного из них зовут Аттила, а другого Хорст. Спасибо папам-мамам, как говорится. ;)

Но речь о другом. В статье обсуждается следующая

Гипотеза. Дано вещественное число λ. Пусть теперь (an) - двусторонняя последовательность целых чисел, причем

0 ≤ an-1 + λan + an+1 < 1

для любого n из Z. Доказать, что если |λ| < 2, то последовательность (an) периодична.

Комментарии. 1. Ясно, что достаточно задать a1, a2, после чего последовательность детерминирована.
2. Для λ = 0,-1,1 задача тривиальна. В статье руками доказывается гипотеза для λ, равного большему золотому сечению. Для прочих значений λ ничего не известно.
3. Задача, кстати, возникла не на пустом месте - она связана с некими динамическими и арифметическими проблемами нестандартных систем счисления.

(подробности - в ru_mathresearch)