August 15th, 2008

reuleaux

Нащет матриц

А вот, кстати, интересная статья двух канадцев. Канадцы задаются таким душевным вопросом: возьмем все матрицы 2х2 с целыми элементами, не превосходящими k по модулю; сколько среди них будет матриц с целыми собственными значениями?

Точно это, конечно, не посчитать, но можно посчитать асимптотику. Оказывается, вероятность (= число матриц с целыми с.з./общее число матриц, равное (2k+1)4) убывает как C log k/k, где C есть совершенно явная константа. Как следствие, "подавляющее большинство" матриц заданным свойством не обладают (что, наверное, и попроще можно доказать). Но исключений довольно много - как бы "размерность 1".

Вкусный такой результат, мне по нраву. Матрицы 2х2, которые мы все так любим!

Интересно, как обстоят дела с матрицами m x m.