December 5th, 2012

spider

Канторовские множества и нормальные числа

Слушал сегодня вчера доклад, почерпнул много интересного.

А именно, возьмем самое обычное (middle-thirds) канторовское множество К...



... и запилим на него самую что ни на есть естественную меру, а именно такую, которая равна 2-n для всех интервалов энного уровня (называется научно Cantor-Lebesgue measure).

Если кто не знает, число называется нормальным (по Борелю) в системе счисления по основанию d, если в его d-ичном любой блок длины n встречается с частотой d-n, т.е. с такой, грубо говоря, какую ты от него ожидаешь. Например, блок 01001 в двоичном разложении встречается с асимптотической частотой 1/32.

Борель аж в 1900 году доказал, что почти любое по Лебегу число из интервала [0, 1] нормально по любому основанию (а, значит, и по всем сразу). Сейчас это, конечно, общее место - следствие усиленного закона больших чисел, например, но он героически доказывал это вручную.

Ну так вот, в множестве К очевидным образом нет нормальных чисел по основанию 3, потому как цифра 1 там вообще не встречается. Однако по любому другому основанию почти всякое число из К нормально, если только это основание не есть степень тройки. Этот результат был получен независимо двумя выдающимися теоретико-числовиками Касселсом и Шмидтом в 1959-м 1960-м году соответственно, через преобразование Фурье.

В сегодняшнем докладе в качестве побочного продукта некоей глубокой теории анонсирован следующий замечательный результат: оказывается, для почти любого числа из множества К его квадрат нормален по основанию 3. И не только квадрат - любая достаточно гладкая функция, лишь бы она не была линейной. (Да и многие линейные тоже.) То есть это свойство канторовского множества крайне нестабильно и исчезает при применении произвольной разумной функции.

Мораль та, что в природе всё нормально почти везде, исключения реально встречаются только в очень искусственных моделях вроде множества К, да и то пока их слегка не встряхнут.
dostoyevsky

Белов всё

Не могу вспомнить, читал я покойного или всё же нет. Распутина нас заставляли читать в школе, и у меня от него мутило, причем мутило на стольких уровнях сразу - язык, тематика, стиль... - что мне реально приходилось прилагать усилия, чтобы не срыгнуть. Насчет Белова не помню. Сам бы я читать такое точно не стал, так что вопрос лишь в том, был ли он в программе.

А разгадка проста: деревенские люди мне совершенно не интересны. Я с таким служил, из Бодайбинского района Иркутской области, и одно время дежурил совместно с ним по 12 часов в день. Парень он был хороший, но общаться с ним было невозможно - мы были из разных вселенных, фактически. В конце концов он начал съезжать с катушек от полного неумения занять себя и обилия свободного времени, так что я посоветовал ему начать клеить дембельский альбом, что и заняло его несложную личность до конца моей службы (and beyond).

Более того, я считаю, что деревенских следует опасаться. Они сильно другие, чем мы, так что лучше держаться от них подальше. Этот несчастный учитель-подвижник, которого упекли на 8 лет ни за что, познал этот простой тезис на своей шкуре. Читывал я истории и пострашнее, это еще не худший вариант.

Так что ну их к лешему, пусть сами пишут про свои дикие нравы своим звериным языком, а нам до них дела нет, верно?